Muitos anos atrás, trabalhei na Telxon com Dave Strong. Dave havia mencionado que seu avô fazia um truque em que pedia a alguém na sala qualquer número. Ele então pensaria muito e lentamente, mas deliberadamente construiria uma matriz 4x4. Cada linha, coluna e diagonal de números somam exatamente o número escolhido. Esse tipo de figura é chamado de quadrado mágico.
O avô de Dave era Walter Wills Strong. Ele estava com o YMCA na Europa durante a Primeira Guerra Mundial e surpreenderia as tropas com esse truque mental. Quando Dave me apresentou o problema, encontrei uma solução para criar o quadrado mágico básico com números de 1 a 16 que somam 34. No entanto, o avô de Dave foi capaz de criar um quadrado mágico para qualquer número. Agora, muitos anos depois, Dave descobriu a fórmula de como seu avô fazia esse truque. Com um pouco de prática, você pode aprender o truque sozinho. A dica desta semana vai falar sobre quadrados mágicos. Ele vai mostrar o processo usado pelo avô de Dave. Também oferecerá dois arquivos Excel. Um arquivo do Excel calcula rapidamente um quadrado mágico para qualquer número. O outro arquivo do Excel tenta replicar a natureza de conjuração da performance que o avô de Dave deve ter dado,completo com um mago barbudo.
A teoria para um quadrado mágico básico
Uma matriz de números 4x4 possui duas diagonais. Na imagem abaixo, uma diagonal é composta pelos 4 quadrados amarelos. Uma diagonal é composta por 4 quadrados vermelhos. As 8 células de borda restantes são coloridas de verde.
Para construir um Quadrado Mágico para 34, basta escrever os números de 1 a 16 em ordem. Existe uma reviravolta fácil. Se você estiver prestes a escrever um número em um quadrado amarelo ou vermelho, deverá escrever o número na célula diagonalmente oposta a esse quadrado. Por exemplo, o 1 que ficaria no canto superior esquerdo cai em um quadrado amarelo. A célula diagonalmente oposta a este quadrado é, na verdade, o 16º quadrado, no canto inferior direito. Em vez de escrever 1 no quadrado superior esquerdo, escreva-o no quadrado inferior direito.
Os próximos dois números, 2 e 3, cairiam em quadrados verdes, então escreva-os em seus lugares normais. O número 4 cairia em um quadrado vermelho, então em vez de escrevê-lo no canto superior direito, escreva o número 4 no canto esquerdo inferior.
O número 5 é escrito no lugar correto. 6 e 7 precisam se mover diagonalmente, e 8 é escrito em seu lugar correto.
Continue este padrão para os números de 9 a 16. Você eventualmente acaba com um quadrado mágico simples que soma 34 em todas as direções
Uma reviravolta interessante
O avô de Dave tinha uma pequena distorção nisso. Para o avô de Dave, ele tinha a regra oposta. Tudo o que caiu em um quadrado vermelho ou amarelo foi escrito no lugar certo. Qualquer coisa que caísse em uma célula de borda verde era escrita no quadrado diagonalmente oposto. Seu quadrado básico teria se parecido com este.
Eu sugiro que você aprenda qualquer um dos dois padrões acima e se atenha a ele. Usarei o padrão em que os números nas diagonais vermelhas ou amarelas são escritos na diagonal oposta à sua localização normal.
Criação de um quadrado mágico para qualquer número
O segredo empregado pelo avô de Dave era ajustar seu número inicial. Ele usou um cálculo em sua cabeça para descobrir um número inicial diferente de 1. Se você pensar sobre a matemática, cada soma no quadrado mágico é composta de 4 células. Se você adicionar um a cada célula, o quadrado mágico totalizará 38, porque todas as 4 células serão incrementadas em 1. Aqui está um quadrado mágico criado usando os números inteiros de 2 a 17 em vez de 1 a 16. Ele totaliza 38 em vez de 34. Todas as outras lógicas permanecem as mesmas.
A chave para criar um quadrado mágico que some qualquer número é variar o número inicial. Com um pouco de álgebra, você pode entender por que o número inicial segue esta fórmula:
((Desired Number - 34) / 4 ) + 1Aqui está a pasta de trabalho do Excel para criar qualquer Quadrado Mágico desejado: AnyMagicSquare.xls.
Magic Square Genie
Esta pasta de trabalho usa macros VBA do Excel. Para que o gênio funcione, você deve permitir a execução de macros ao abrir esta pasta de trabalho. Para habilitar macros, siga estas etapas antes de baixar a pasta de trabalho.
- Abra o Excel
- No menu, selecione Ferramentas> Macro> Segurança
- Altere a configuração para Médio
- Baixe e abra a pasta de trabalho
- Quando a pasta de trabalho for abrindo, você será notificado de que macros estão presentes. Escolha Ativar.
Eu escrevi este programa para simular a performance dada pelo avô de Dave. Embora não seja tão impressionante quanto alguém fazer a matemática pessoalmente com um lápis e um papel, ainda dá uma ideia de como seria o desempenho. Clique no Genie para começar e ele pedirá um número. O Gênio então pensa no problema.
O gênio lentamente começa a preencher os números.
Conforme as linhas são concluídas, os totais das linhas e colunas acendem para indicar que as linhas estão corretas.
Eventualmente, o gênio obtém o quadrado correto e se oferece para fazer outro.
Baixe uma versão compactada do Magic Square Genie.
Uma gorjeta para Dave Strong e seu avô Walter Wills Strong pela transmissão dessa técnica.
Para saber mais sobre como usar o VBA para automatizar problemas do Excel, verifique VBA e macros para Microsoft Excel, escrito por Bill Jelen e Tracy Syrstad.
Atualização de dezembro de 2005
Outro método usando apenas inteiros
Em novembro de 2005, Ray Battersby escreveu que deve haver uma maneira de fazer um quadrado mágico para qualquer número acima de 30 usando apenas números inteiros sem decimais. Ray identificou que você poderia adicionar de uma a quatro células específicas na matriz. No Quadrado Mágico de 34, organize os números em ordem numérica e pegue todas as células, começando pela mais baixa. Na imagem abaixo, Ray identificou as células que contêm 1, 3, 5 e 7.
Para mudar isso para um quadrado mágico para 35, adicione um a cada uma das células amarelas.
Para usar o método de Ray, subtraia 30 do resultado desejado. Divida esse número por 4. A parte inteira se torna o dígito inicial e o restante se torna o número que você adiciona às quatro células amarelas. Por exemplo, para criar um quadrado mágico para 33:
- 33-30 é 3
- 3 dividido por 4 é 0 com o resto de 3
- O número inicial é 0 conforme mostrado como o resultado intermediário abaixo
- Adicione 3 a cada uma das células amarelas conforme mostrado no Resultado final abaixo
Como Ray observa, isso significa que alguns dos dígitos são repetidos na matriz.
Obrigado a Ray por compartilhar este método.
Atualização de janeiro de 2008
Richard Letsinger escreveu para observar que o método de Ray funcionaria para qualquer número inteiro, positivo ou negativo. O método não se limita apenas a números inteiros acima de 30.
